數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考高中知識點總結(jié)
總結(jié)就是把一個時間段取得的成績、存在的問題及得到的經(jīng)驗和教訓(xùn)進(jìn)行一次全面系統(tǒng)的總結(jié)的書面材料,它可以促使我們思考,不妨坐下來好好寫寫總結(jié)吧。那么如何把總結(jié)寫出新花樣呢?以下是小編整理的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考高中知識點總結(jié),希望對大家有所幫助。
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1.一些基本概念:
(1)向量:既有大小,又有方向的量.
(2)數(shù)量:只有大小,沒有方向的量.
(3)有向線段的三要素:起點、方向、長度.
(4)零向量:長度為0的向量.
(5)單位向量:長度等于1個單位的.向量.
(6)平行向量(共線向量):方向相同或相反的非零向量.
※零向量與任一向量平行.
(7)相等向量:長度相等且方向相同的向量.
2.向量加法運算:
、湃切畏▌t的特點:首尾相連.
⑵平行四邊形法則的特點:共起點
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有界性
設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間X上有定義,如果存在M>0,對于一切屬于區(qū)間X上的x,恒有|f(x)|≤M,則稱f(x)在區(qū)間X上有界,否則稱f(x)在區(qū)間上無界.
單調(diào)性
設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,區(qū)間I包含于D.如果對于區(qū)間上任意兩點x1及x2,當(dāng)x1f(x2),則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)遞減的.單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).
奇偶性
設(shè)為一個實變量實值函數(shù),若有f(—x)=—f(x),則f(x)為奇函數(shù).
幾何上,一個奇函數(shù)關(guān)于原點對稱,亦即其圖像在繞原點做180度旋轉(zhuǎn)后不會改變.
奇函數(shù)的例子有x、sin(x)、sinh(x)和erf(x).
設(shè)f(x)為一實變量實值函數(shù),若有f(x)=f(—x),則f(x)為偶函數(shù).
幾何上,一個偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱,亦即其圖在對y軸映射后不會改變.
偶函數(shù)的'例子有|x|、x2、cos(x)和cosh(x).
偶函數(shù)不可能是個雙射映射.
連續(xù)性
在數(shù)學(xué)中,連續(xù)是函數(shù)的一種屬性.直觀上來說,連續(xù)的函數(shù)就是當(dāng)輸入值的變化足夠小的時候,輸出的變化也會隨之足夠小的函數(shù).如果輸入值的某種微小的變化會產(chǎn)生輸出值的一個突然的跳躍甚至無法定義,則這個函數(shù)被稱為是不連續(xù)的函數(shù)(或者說具有不連續(xù)性).
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(1)直線的傾斜角
定義:x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地,當(dāng)直線與x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此,傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°
(2)直線的斜率
、俣x:傾斜角不是90°的直線,它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。
、谶^兩點的.直線的斜率公式:
注意下面四點:
(1)當(dāng)時,公式右邊無意義,直線的斜率不存在,傾斜角為90°;
(2)k與P1、P2的順序無關(guān);
(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標(biāo)直接求得;
(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標(biāo)先求斜率得到。
(3)直線方程
、冱c斜式:直線斜率k,且過點
注意:當(dāng)直線的斜率為0°時,k=0,直線的方程是y=y1。當(dāng)直線的斜率為90°時,直線的斜率不存在,它的方程不能用點斜式表示.但因l上每一點的橫坐標(biāo)都等于x1,所以它的方程是x=x1。
、谛苯厥剑,直線斜率為k,直線在y軸上的截距為b
、蹆牲c式:直線兩點,
、芙鼐厥剑浩渲兄本與軸交于點,與軸交于點,即與軸、軸的截距分別為。
、菀话闶剑(A,B不全為0)
、菀话闶剑(A,B不全為0)
注意:○1各式的適用范圍
○2特殊的方程如:平行于x軸的直線:(b為常數(shù));平行于y軸的直線:(a為常數(shù));
(4)直線系方程:即具有某一共同性質(zhì)的直線
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方程的根與函數(shù)的零點
1、函數(shù)零點的概念:對于函數(shù),把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。
2、函數(shù)零點的意義:函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根,亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)。即:
方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點.
3、函數(shù)零點的求法:
求函數(shù)的零點:
1(代數(shù)法)求方程的實數(shù)根;
2(幾何法)對于不能用求根公式的`方程,可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點.
4、二次函數(shù)的零點:
二次函數(shù).
1、△>0,方程有兩不等實根,二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點,二次函數(shù)有兩個零點.
2、△=0,方程有兩相等實根(二重根),二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點,二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點.
3、△<0,方程無實根,二次函數(shù)的圖象與軸無交點,二次函數(shù)無零點.
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1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線
x=-b/2a。
對稱軸與拋物線的交點為拋物線的頂點P。
特別地,當(dāng)b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個頂點P,坐標(biāo)為
P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
當(dāng)-b/2a=0時,P在y軸上;當(dāng)Δ=b^2-4ac=0時,P在x軸上。
3.二次項系數(shù)a決定拋物線的.開口方向和大小。
當(dāng)a>0時,拋物線向上開口;當(dāng)a<0時,拋物線向下開口。
|a|越大,則拋物線的開口越小。
4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。
當(dāng)a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;
當(dāng)a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。
5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交于(0,c)
6.拋物線與x軸交點個數(shù)
Δ=b^2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。
Δ=b^2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。
Δ=b^2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(shù)(x=-b±√b^2-4ac的值的相反數(shù),乘上虛數(shù)i,整個式子除以2a)
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考點一、映射的概念
1.了解對應(yīng)大千世界的對應(yīng)共分四類,分別是:一對一多對一一對多多對多
2.映射:設(shè)A和B是兩個非空集合,如果按照某種對應(yīng)關(guān)系f,對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都存在的一個元素y與之對應(yīng),那么,就稱對應(yīng)f:A→B為集合A到集合B的一個映射(mapping).映射是特殊的對應(yīng),簡稱“對一”的對應(yīng).包括:一對一多對一
考點二、函數(shù)的概念
1.函數(shù):設(shè)A和B是兩個非空的數(shù)集,如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都存在確定的.數(shù)y與之對應(yīng),那么,就稱對應(yīng)f:A→B為集合A到集合B的一個函數(shù).記作y=f(x),xA.其中x叫自變量,x的取值范圍A叫函數(shù)的定義域;與x的值相對應(yīng)的y的值函數(shù)值,函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域.函數(shù)是特殊的映射,是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射.
2.函數(shù)的三要素:定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系.這是判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)的依據(jù).
3.區(qū)間的概念:設(shè)a,bR,且a
①(a,b)={xa
、荩╝,+∞)={>a}⑥[a,+∞)={≥a}⑦(—∞,b)={
考點三、函數(shù)的表示方法
1.函數(shù)的三種表示方法列表法圖象法解析法
2.分段函數(shù):定義域的不同部分,有不同的對應(yīng)法則的函數(shù).注意兩點:①分段函數(shù)是一個函數(shù),不要誤認(rèn)為是幾個函數(shù).②分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集.
考點四、求定義域的幾種情況
、偃鬴(x)是整式,則函數(shù)的定義域是實數(shù)集R;
、谌鬴(x)是分式,則函數(shù)的定義域是使分母不等于0的實數(shù)集;
③若f(x)是二次根式,則函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于0的實數(shù)集合;
④若f(x)是對數(shù)函數(shù),真數(shù)應(yīng)大于零.
、.因為零的零次冪沒有意義,所以底數(shù)和指數(shù)不能同時為零.
⑥若f(x)是由幾個部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的,則函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合;
、呷鬴(x)是由實際問題抽象出來的函數(shù),則函數(shù)的定義域應(yīng)符合實際問題
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二項式定理知識點:
、(a+b)n=Cn0ax+Cn1an-1b1+Cn2an-2b2+Cn3an-3b3+…+Cnran-rbr+-…+Cnn-1abn-1+Cnnbn
特別地:(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn
②主要性質(zhì)和主要結(jié)論:對稱性Cnm=Cnn-m
二項式系數(shù)在中間。(要注意n為奇數(shù)還是偶數(shù),答案是中間一項還是中間兩項)
所有二項式系數(shù)的和:Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n
奇數(shù)項二項式系數(shù)的和=偶數(shù)項而是系數(shù)的'和
Cn0+Cn2+Cn4+Cn6+Cn8+…=Cn1+Cn3+Cn5+Cn7+Cn9+…=2n-1
③通項為第r+1項:Tr+1=Cnran-rbr作用:處理與指定項、特定項、常數(shù)項、有理項等有關(guān)問題。
二項式定理的應(yīng)用:解決有關(guān)近似計算、整除問題,運用二項展開式定理并且結(jié)合放縮法證明與指數(shù)有關(guān)的不等式。
注意二項式系數(shù)與項的系數(shù)(字母項的系數(shù),指定項的系數(shù)等,指運算結(jié)果的系數(shù))的區(qū)別,在求某幾項的系數(shù)的和時注意賦值法的應(yīng)用。
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1.定義法:
判斷B是A的條件,實際上就是判斷B=>A或者A=>B是否成立,只要把題目中所給的條件按邏輯關(guān)系畫出箭頭示意圖,再利用定義判斷即可.
2.轉(zhuǎn)換法:
當(dāng)所給命題的充要條件不易判斷時,可對命題進(jìn)行等價裝換,例如改用其逆否命題進(jìn)行判斷.
3.集合法
在命題的條件和結(jié)論間的關(guān)系判斷有困難時,可從集合的角度考慮,記條件p、q對應(yīng)的集合分別為A、B,則:
若A∩B,則p是q的'充分條件.
若A∪B,則p是q的必要條件.
若A=B,則p是q的充要條件.
若A∈B,且B∈A,則p是q的既不充分也不必要條件.
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1.輾轉(zhuǎn)相除法是用于求公約數(shù)的一種方法,這種算法由歐幾里得在公元前年左右首先提出,因而又叫歐幾里得算法.
2.所謂輾轉(zhuǎn)相法,就是對于給定的兩個數(shù),用較大的數(shù)除以較小的數(shù).若余數(shù)不為零,則將較小的數(shù)和余數(shù)構(gòu)成新的一對數(shù),繼續(xù)上面的除法,直到大數(shù)被小數(shù)除盡,則這時的除數(shù)就是原來兩個數(shù)的'公約數(shù).
3.更相減損術(shù)是一種求兩數(shù)公約數(shù)的方法.其基本過程是:對于給定的兩數(shù),用較大的數(shù)減去較小的數(shù),接著把所得的差與較小的數(shù)比較,并以大數(shù)減小數(shù),繼續(xù)這個操作,直到所得的數(shù)相等為止,則這個數(shù)就是所求的公約數(shù).
4.秦九韶算法是一種用于計算一元二次多項式的值的方法.
5.常用的排序方法是直接插入排序和冒泡排序.
6.進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞嫈?shù)和運算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng).“滿進(jìn)一”,就是k進(jìn)制,進(jìn)制的基數(shù)是k.
7.將進(jìn)制的數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)的方法是:先將進(jìn)制數(shù)寫成用各位上的數(shù)字與k的冪的乘積之和的形式,再按照十進(jìn)制數(shù)的運算規(guī)則計算出結(jié)果.
8.將十進(jìn)制數(shù)化為進(jìn)制數(shù)的方法是:除k取余法.即用k連續(xù)去除該十進(jìn)制數(shù)或所得的商,直到商為零為止,然后把每次所得的余數(shù)倒著排成一個數(shù)就是相應(yīng)的進(jìn)制數(shù).
1.重點:理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的原理,會求兩個數(shù)的公約數(shù);理解秦九韶算法原理,會求一元多項式的值;會對一組數(shù)據(jù)按照一定的規(guī)則進(jìn)行排序;理解進(jìn)位制,能進(jìn)行各種進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)化.
2.難點:秦九韶算法求一元多項式的值及各種進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)化.
3.重難點:理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)、秦九韶算法原理、排序方法、進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)化方法.
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復(fù)數(shù)定義
我們把形如a+bi(a,b均為實數(shù))的數(shù)稱為復(fù)數(shù),其中a稱為實部,b稱為虛部,i稱為虛數(shù)單位。當(dāng)虛部等于零時,這個復(fù)數(shù)可以視為實數(shù);當(dāng)z的虛部不等于零時,實部等于零時,常稱z為純虛數(shù)。復(fù)數(shù)域是實數(shù)域的代數(shù)閉包,也即任何復(fù)系數(shù)多項式在復(fù)數(shù)域中總有根。
復(fù)數(shù)表達(dá)式
虛數(shù)是與任何事物沒有聯(lián)系的,是絕對的`,所以符合的表達(dá)式為:
a=a+ia為實部,i為虛部
復(fù)數(shù)運算法則
加法法則:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
減法法則:(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;
乘法法則:(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;
除法法則:(a+bi)/(c+di)=[(ac+bd)/(c2+d2)]+[(bc-ad)/(c2+d2)]i.
例如:[(a+bi)+(c+di)]-[(a+c)+(b+d)i]=0,最終結(jié)果還是0,也就在數(shù)字中沒有復(fù)數(shù)的存在。[(a+bi)+(c+di)]-[(a+c)+(b+d)i]=z是一個函數(shù)。
復(fù)數(shù)與幾何
、賻缀涡问
復(fù)數(shù)z=a+bi被復(fù)平面上的點z(a,b)確定。這種形式使復(fù)數(shù)的問題可以借助圖形來研究。也可反過來用復(fù)數(shù)的理論解決一些幾何問題。
、谙蛄啃问
復(fù)數(shù)z=a+bi用一個以原點O(0,0)為起點,點Z(a,b)為終點的向量OZ表示。這種形式使復(fù)數(shù)四則運算得到恰當(dāng)?shù)膸缀谓忉尅?/p>
、廴切问
復(fù)數(shù)z=a+bi化為三角形式
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1.求函數(shù)的單調(diào)性:
利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本方法:設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),(1)如果恒f(x)0,則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為增函數(shù);(2)如果恒f(x)0,則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為減函數(shù);(3)如果恒f(x)0,則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為常數(shù)函數(shù).
利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本步驟:①求函數(shù)yf(x)的定義域;②求導(dǎo)數(shù)f(x);③解不等式f(x)0,解集在定義域內(nèi)的不間斷區(qū)間為增區(qū)間;④解不等式f(x)0,解集在定義域內(nèi)的不間斷區(qū)間為減區(qū)間.
反過來,也可以利用導(dǎo)數(shù)由函數(shù)的單調(diào)性解決相關(guān)問題(如確定參數(shù)的取值范圍):設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),
(1)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為增函數(shù),則f(x)0(其中使f(x)0的x值不構(gòu)成區(qū)間);
。2)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為減函數(shù),則f(x)0(其中使f(x)0的x值不構(gòu)成區(qū)間);
。3)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為常數(shù)函數(shù),則f(x)0恒成立.
2.求函數(shù)的極值:
設(shè)函數(shù)yf(x)在x0及其附近有定義,如果對x0附近的所有的點都有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0)),則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的極小值(或極大值).
可導(dǎo)函數(shù)的極值,可通過研究函數(shù)的單調(diào)性求得,基本步驟是:
。1)確定函數(shù)f(x)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù)f(x);(3)求方程f(x)0的全部實根,x1x2xn,順次將定義域分成若干個小區(qū)間,并列表:x變化時,f(x)和f(x)值的變化情況:
。4)檢查f(x)的符號并由表格判斷極值.
3.求函數(shù)的值與最小值:
如果函數(shù)f(x)在定義域I內(nèi)存在x0,使得對任意的xI,總有f(x)f(x0),則稱f(x0)為函數(shù)在定義域上的值.函數(shù)在定義域內(nèi)的極值不一定,但在定義域內(nèi)的最值是的.
求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的值和最小值的.步驟:(1)求f(x)在區(qū)間(a,b)上的極值;
(2)將第一步中求得的極值與f(a),f(b)比較,得到f(x)在區(qū)間[a,b]上的值與最小值.
4.解決不等式的有關(guān)問題:
。1)不等式恒成立問題(絕對不等式問題)可考慮值域.
f(x)(xA)的值域是[a,b]時,
不等式f(x)0恒成立的充要條件是f(x)max0,即b0;
不等式f(x)0恒成立的充要條件是f(x)min0,即a0.
f(x)(xA)的值域是(a,b)時,
不等式f(x)0恒成立的充要條件是b0;不等式f(x)0恒成立的充要條件是a0.
(2)證明不等式f(x)0可轉(zhuǎn)化為證明f(x)max0,或利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為證明f(x)f(x0)0.
5.導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用:
實際生活求解(。┲祮栴},通常都可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值.在利用導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)最值時,一定要注意,極值點的單峰函數(shù),極值點就是最值點,在解題時要加以說明.
數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考高中知識點總結(jié)12
1、集合的含義與表示
集合的含義:集合為一些確定的、不同的東西的全體,人們能意識到這些東西,并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個整體。
把研究對象統(tǒng)稱為元素,把一些元素組成的總體叫集合,簡稱為集。
2、集合的中元素的三個特性:
(1)元素的確定性:集合確定,則一元素是否屬于這個集合是確定的:屬于或不屬于。
(2)元素的互異性:一個給定集合中的元素是唯一的,不可重復(fù)的。
。3)元素的無序性:集合中元素的位置是可以改變的,并且改變位置不影響集合
3、集合的表示:{…}
。1)用大寫字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}
。2)集合的表示方法:列舉法與描述法。
a、列舉法:將集合中的元素一一列舉出來{a,b,c……}
b、描述法:
①區(qū)間法:將集合中元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內(nèi)表示集合。
{xR|x—32},{x|x—32}
②語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
、踁enn圖:畫出一條封閉的曲線,曲線里面表示集合。
4、集合的分類:
。1)有限集:含有有限個元素的集合
(2)無限集:含有無限個元素的集合
。3)空集:不含任何元素的集合
5、元素與集合的關(guān)系:
。1)元素在集合里,則元素屬于集合,即:aA
。2)元素不在集合里,則元素不屬于集合,即:a¢A
注意:常用數(shù)集及其記法:
非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作:N
正整數(shù)集Nx或N+
整數(shù)集Z
有理數(shù)集Q
實數(shù)集R
6、集合間的基本關(guān)系
。1)“包含”關(guān)系(1)—子集
定義:如果集合A的'任何一個元素都是集合B的元素,我們說這兩個集合有包含關(guān)系,稱集合A是集合B的子集。
高三數(shù)學(xué)必修1知識點二
1、函數(shù)的奇偶性
。1)若f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(—x);
(2)若f(x)是奇函數(shù),0在其定義域內(nèi),則f(0)=0(可用于求參數(shù));
。3)判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價形式:f(x)±f(—x)=0或(f(x)≠0);
。4)若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜,應(yīng)先化簡,再判斷其奇偶性;
。5)奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性;
2、復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問題
(1)復(fù)合函數(shù)定義域求法:若已知的定義域為[a,b],其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定義域為[a,b],求f(x)的定義域,相當(dāng)于x∈[a,b]時,求g(x)的值域(即f(x)的定義域);研究函數(shù)的問題一定要注意定義域優(yōu)先的原則。
。2)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由“同增異減”判定;
3、函數(shù)圖像(或方程曲線的對稱性)
。1)證明函數(shù)圖像的對稱性,即證明圖像上任意點關(guān)于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在圖像上;
。2)證明圖像C1與C2的對稱性,即證明C1上任意點關(guān)于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在C2上,反之亦然;
。3)曲線C1:f(x,y)=0,關(guān)于y=x+a(y=—x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y—a,x+a)=0(或f(—y+a,—x+a)=0);
。4)曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于點(a,b)的對稱曲線C2方程為:f(2a—x,2b—y)=0;
。5)若函數(shù)y=f(x)對x∈R時,f(a+x)=f(a—x)恒成立,則y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對稱;
。6)函數(shù)y=f(x—a)與y=f(b—x)的圖像關(guān)于直線x=對稱;
4、函數(shù)的周期性
(1)y=f(x)對x∈R時,f(x +a)=f(x—a)或f(x—2a)=f(x)(a0)恒成立,則y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù);
。2)若y=f(x)是偶函數(shù),其圖像又關(guān)于直線x=a對稱,則f(x)是周期為2︱a︱的周期函數(shù);
。3)若y=f(x)奇函數(shù),其圖像又關(guān)于直線x=a對稱,則f(x)是周期為4︱a︱的周期函數(shù);
。4)若y=f(x)關(guān)于點(a,0),(b,0)對稱,則f(x)是周期為2的周期函數(shù);
。5)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a,x=b(a≠b)對稱,則函數(shù)y=f(x)是周期為2的周期函數(shù);
(6)y=f(x)對x∈R時,f(x+a)=—f(x)(或f(x+a)=,則y=f(x)是周期為2的周期函數(shù);
5、方程
。1)方程k=f(x)有解k∈D(D為f(x)的值域);
。2)a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;
a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;
。3)(a0,a≠1,b0,n∈R+);
log a N=(a0,a≠1,b0,b≠1);
。4)log a b的符號由口訣“同正異負(fù)”記憶;
a log a N= N(a0,a≠1,N0);
6、映射
判斷對應(yīng)是否為映射時,抓住兩點:
。1)A中元素必須都有象且唯一;
(2)B中元素不一定都有原象,并且A中不同元素在B中可以有相同的象;
7、函數(shù)單調(diào)性
。1)能熟練地用定義證明函數(shù)的單調(diào)性,求反函數(shù),判斷函數(shù)的奇偶性;
(2)依據(jù)單調(diào)性,利用一次函數(shù)在區(qū)間上的保號性可解決求一類參數(shù)的范圍問題
8、反函數(shù)
對于反函數(shù),應(yīng)掌握以下一些結(jié)論:
。1)定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù);
。2)奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù);
(3)定義域為非單元素集的偶函數(shù)不存在反函數(shù);
。4)周期函數(shù)不存在反函數(shù);(5)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有相同的單調(diào)性;
。5)y=f(x)與y=f—1(x)互為反函數(shù),設(shè)f(x)的定義域為A,值域為B,則有f[f——1(x)]=x(x∈B),f——1[f(x)]=x(x∈A)、
9、數(shù)形結(jié)合
處理二次函數(shù)的問題勿忘數(shù)形結(jié)合;二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值,求最值問題用“兩看法”:一看開口方向;二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系、
10、恒成立問題
恒成立問題的處理方法:
(1)分離參數(shù)法;
(2)轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解;
數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考高中知識點總結(jié)13
一、圓及圓的相關(guān)量的定義
1.平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。定點稱為圓心,定長稱為半徑。
2.圓上任意兩點間的部分叫做圓弧,簡稱弧。大于半圓的弧稱為優(yōu)弧,小于半圓的弧稱為劣弧。連接圓上任意兩點的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫
做直徑。
3.頂點在圓心上的角叫做圓心角。頂點在圓周上,且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角。
4.過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓,其圓心叫做三角形的外心。和三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內(nèi)切圓,其圓心稱為內(nèi)心。
5.直線與圓有3種位置關(guān)系:無公共點為相離;有2個公共點為相交;圓與直線有唯一公共點為相切,這條直線叫做圓的切線,這個唯一的公共點叫做切點。
6.兩圓之間有5種位置關(guān)系:無公共點的,一圓在另一圓之外叫外離,在之內(nèi)叫內(nèi)含;有唯一公共點的,一圓在另一圓之外叫外切,在之內(nèi)叫內(nèi)切;有2個公共點的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。
7.在圓上,由2條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。圓錐側(cè)面展開圖是一個扇形。這個扇形的半徑成為圓錐的母線。
二、有關(guān)圓的字母表示方法
圓--⊙ 半徑—r 弧--⌒ 直徑—d
扇形弧長/圓錐母線—l 周長—C 面積—S三、有關(guān)圓的基本性質(zhì)與定理(27個)
1.點P與圓O的位置關(guān)系(設(shè)P是一點,則PO是點到圓心的距離):
P在⊙O外,PO>r;P在⊙O上,PO=r;P在⊙O內(nèi),PO
2.圓是軸對稱圖形,其對稱軸是任意一條過圓心的直線。圓也是中心對稱圖形,其對稱中心是圓心。
3.垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的弧。逆定
理:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的弧。
4.在同圓或等圓中,如果2個圓心角,2個圓周角,2條弧,2條弦中有一組量相等,那么他們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。
5.一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。
6.直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。
7.不在同一直線上的3個點確定一個圓。
8.一個三角形有唯一確定的外接圓和內(nèi)切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點,到三角形3個頂點距離相等;內(nèi)切圓的圓心是三角形各內(nèi)角平分線的交點,到三角形3邊距離相等。
9.直線AB與圓O的位置關(guān)系(設(shè)OP⊥AB于P,則PO是AB到圓心的距
離):
AB與⊙O相離,PO>r;AB與⊙O相切,PO=r;AB與⊙O相交,PO
10.圓的切線垂直于過切點的直徑;經(jīng)過直徑的一端,并且垂直于這條直徑的直線,是這個圓的切線。
11.圓與圓的位置關(guān)系(設(shè)兩圓的半徑分別為R和r,且R≥r,圓心距為P):
外離P>R+r;外切P=R+r;相交R-r
三、有關(guān)圓的計算公式
1.圓的周長C=2πr=πd
2.圓的面積S=s=πr?
3.扇形弧長l=nπr/180
4.扇形面積S=nπr? /360=rl/2
5.圓錐側(cè)面積S=πrl
四、圓的方程
1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,以點O(a,b)為圓心,以r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是
。▁-a)^2+(y-b)^2=r^2
2.圓的一般方程
把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開,移項,合并同類項后,可得圓的一般方程是
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
和標(biāo)準(zhǔn)方程對比,其實D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2
相關(guān)知識:圓的離心率e=0.在圓上任意一點的曲率半徑都是r.
五、圓與直線的位置關(guān)系判斷
平面內(nèi),直線Ax+By+C=O與圓x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置關(guān)系判斷一般方法是
討論如下2種情況:
(1)由Ax+By+C=O可得y=(-C-Ax)/B,[其中B不等于0],
代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,即成為一個關(guān)于x的一元二次方程f(x)=0.
利用判別式b^2-4ac的符號可確定圓與直線的位置關(guān)系如下:
如果b^2-4ac>0,則圓與直線有2交點,即圓與直線相交
如果b^2-4ac=0,則圓與直線有1交點,即圓與直線相切
如果b^2-4ac<0,則圓與直線有0交點,即圓與直線相離
(2)如果B=0即直線為Ax+C=0,即x=-C/A.它平行于y軸(或垂直于x軸)
將x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化為(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
令y=b,求出此時的兩個x值x1,x2,并且我們規(guī)定x1
當(dāng)x=-C/Ax2時,直線與圓相離
當(dāng)x1
當(dāng)x=-C/A=x1或x=-C/A=x2時,直線與圓相切
圓的定理:
1.不在同一直線上的三點確定一個圓。
2.垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的.兩條弧
推論1.①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧
、谙业拇怪逼椒志經(jīng)過圓心,并且平分弦所對的兩條弧
、燮椒窒宜鶎Φ囊粭l弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條弧
推論2.圓的兩條平行弦所夾的弧相等
3.圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形
4.圓是定點的距離等于定長的點的集合
5.圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合
6.圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合
7.同圓或等圓的半徑相等
8.到定點的距離等于定長的點的軌跡,是以定點為圓心,定長為半徑的圓
9.定理 在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦 相等,所對的弦的弦心距相等
10.推論 在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩 弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應(yīng)的其余各組量都相等
11.定理 圓的內(nèi)接四邊形的對角互補,并且任何一個外角都等于它 的內(nèi)對角
12.①直線L和⊙O相交 d
②直線L和⊙O相切 d=r
、壑本L和⊙O相離 d>r
13.切線的判定定理 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線
14.切線的性質(zhì)定理 圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑
15.推論1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點
16.推論2 經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心
17.切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線,它們的切線長相等, 圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角
18.圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等 外角等于內(nèi)對角
19.如果兩個圓相切,那么切點一定在連心線上
20.①兩圓外離 d>R+r
、趦蓤A外切 d=R+r
③兩圓相交 R-rr)
、軆蓤A內(nèi)切 d=R-r(R>r)
⑤兩圓內(nèi)含dr)
21.定理 相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦
22.定理 把圓分成n(n≥3):
。1)依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形
。2)經(jīng)過各分點作圓的切線,以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形
23.定理 任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓,這兩個圓是同心圓
24.正n邊形的每個內(nèi)角都等于(n-2)×180°/n
25.定理 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形
26.正n邊形的面積Sn=pnrn/2 p表示正n邊形的周長
27.正三角形面積√3a/4 a表示邊長
28.如果在一個頂點周圍有k個正n邊形的角,由于這些角的和應(yīng)為 360°,因此k×(n-2)180°/n=360°化為(n-2)(k-2)=4
29.弧長計算公式:L=n兀R/180
30.扇形面積公式:S扇形=n兀R^2/360=LR/2
31.內(nèi)公切線長= d-(R-r) 外公切線長= d-(R+r)
32.定理 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半
33.推論1 同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧也相等
34.推論2 半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;90°的圓周角所 對的弦是直徑
35.弧長公式 l=axr a是圓心角的弧度數(shù)r >0 扇形面積公式 s=1/2xlxr
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