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高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

時(shí)間:2024-09-22 08:45:49 高中數(shù)學(xué) 我要投稿

高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

  總結(jié)是對(duì)某一階段的工作、學(xué)習(xí)或思想中的經(jīng)驗(yàn)或情況進(jìn)行分析研究的書(shū)面材料,它可以有效鍛煉我們的語(yǔ)言組織能力,因此,讓我們寫(xiě)一份總結(jié)吧。那么我們?cè)撛趺慈?xiě)總結(jié)呢?以下是小編為大家整理的高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié),歡迎大家分享。

高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

  數(shù)列的相關(guān)概念

  1、數(shù)列概念

 、贁(shù)列是一種特殊的函數(shù)。其特殊性主要表現(xiàn)在其定義域和值域上。數(shù)列可以看作一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*或其有限子集{1,2,3,…,n}的函數(shù),其中的{1,2,3,…,n}不能省略。

 、谟煤瘮(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)數(shù)列是重要的思想方法,一般情況下函數(shù)有三種表示方法,數(shù)列也不例外,通常也有三種表示方法:a.列表法;b。圖像法;c.解析法。其中解析法包括以通項(xiàng)公式給出數(shù)列和以遞推公式給出數(shù)列。

  ③函數(shù)不一定有解析式,同樣數(shù)列也并非都有通項(xiàng)公式。

  等差數(shù)列

  1、等差數(shù)列通項(xiàng)公式

  an=a1+(n-1)d

  n=1時(shí)a1=S1

  n≥2時(shí)an=Sn-Sn-1

  an=kn+b(k,b為常數(shù))推導(dǎo)過(guò)程:an=dn+a1-d令d=k,a1-d=b則得到an=kn+b

  2、等差中項(xiàng)

  由三個(gè)數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以堪稱(chēng)最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列。這時(shí),A叫做a與b的等差中項(xiàng)(arithmeticmean)。

  有關(guān)系:A=(a+b)÷2

  3、前n項(xiàng)和

  倒序相加法推導(dǎo)前n項(xiàng)和公式:

  Sn=a1+a2+a3+·····+an

  =a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①

  Sn=an+an-1+an-2+······+a1

  =an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]②

  由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n個(gè))=n(a1+an)

  ∴Sn=n(a1+an)÷2

  等差數(shù)列的前n項(xiàng)和等于首末兩項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)乘積的一半:

  Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2

  Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)

  亦可得

  a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷n

  an=2sn÷n-a1

  有趣的是S2n-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1

  4、等差數(shù)列性質(zhì)

  任意兩項(xiàng)am,an的關(guān)系為:

  an=am+(n-m)d

  它可以看作等差數(shù)列廣義的通項(xiàng)公式。

  從等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式,前n項(xiàng)和公式還可推出:

  a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈N*

  若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,則有am+an=ap+aq

  對(duì)任意的k∈N*,有

  Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…成等差數(shù)列。

  等比數(shù)列

 1、等比中項(xiàng)

  如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)。

  有關(guān)系:

  注:兩個(gè)非零同號(hào)的實(shí)數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個(gè),它們互為相反數(shù),所以G=ab是a,G,b三數(shù)成等比數(shù)列的必要不充分條件。

  2、等比數(shù)列通項(xiàng)公式

  an=a1*q’(n-1)(其中首項(xiàng)是a1,公比是q)

  an=Sn-S(n-1)(n≥2)

  前n項(xiàng)和

  當(dāng)q≠1時(shí),等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式為

  Sn=a1(1-q’n)/(1-q)=(a1-a1*q’n)/(1-q)(q≠1)

  當(dāng)q=1時(shí),等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式為

  Sn=na1

  3、等比數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系

  an=a1=s1(n=1)

  an=sn-s(n-1)(n≥2)

  4、等比數(shù)列性質(zhì)

  (1)若m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,則am·an=ap·aq;

  (2)在等比數(shù)列中,依次每k項(xiàng)之和仍成等比數(shù)列。

  (3)從等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式可以推出:a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}

  (4)等比中項(xiàng):q、r、p成等比數(shù)列,則aq·ap=ar,ar則為ap,aq等比中項(xiàng)。

  記πn=a1·a2…an,則有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1

  另外,一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列各項(xiàng)取同底指數(shù)冪后構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列;反之,以任一個(gè)正數(shù)C為底,用一個(gè)等差數(shù)列的各項(xiàng)做指數(shù)構(gòu)造冪Can,則是等比數(shù)列。在這個(gè)意義下,我們說(shuō):一個(gè)正項(xiàng)等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的。

  (5)等比數(shù)列前n項(xiàng)之和Sn=a1(1-q’n)/(1-q)

  (6)任意兩項(xiàng)am,an的關(guān)系為an=am·q’(n-m)

  (7)在等比數(shù)列中,首項(xiàng)a1與公比q都不為零。

  注意:上述公式中a’n表示a的n次方。

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